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Multiphysics: Simulation gekoppelter Feldprobleme

Die Geschichte der Simulation war lange Zeit eine Domäne der Strukturmechanik – also der Berechnung von Verschiebungen als Funktion von Ort und Zeit – sowie daraus abgeleitet der Dehnungen und mechanischen Spannungen. Frühe Beispiele dafür sind die Baustatik und dynamische Berechnungen von Flugzeugen. Neben der Strukturmechanik treten in der Praxis aber auch Felder als Temperaturfelder, elektrische Felder, Magnetfelder und Strömungsfelder von Flüssigkeiten auf. Unter dem Begriff ‚Multiphysics‘ lassen sich solche Felder bei der Berechnung koppeln.

Für die Simulation von gekoppelten Phänomenen, bei denen verschiedene Felder miteinander in Wechselwirkung stehen, hat sich die Bezeichnung Multiphysics eingebürgert. Diese Bezeichnung ist immer wieder Anlass für Kritik, es gibt schließlich nur eine Physik mit verschiedenen Disziplinen.

Die Kopplungen zwischen den verschiedenen Domänen sind von ganz unterschiedlicher Art und werden mit unterschiedlichen Methoden in der Simulation berücksichtigt. Der Klassiker unter den Kopplungen ist die Wärmedehnung. Wenn sich die Temperatur einer Struktur ändert, dann liefert die Temperaturänderung einen Beitrag zur Dehnung der Körper. Wenn nun die Temperaturänderung nicht homogen über die Struktur verteilt ist oder die Struktur aus unterschiedlichen Materialien besteht, oder aber Festhaltungen die thermische Dehnung behindern, bilden sich mechanische Spannungen – so genannte thermische Spannungen.

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Uni- und bidirektionale Kopplungen unterstützen

Diese Kopplung ist zumeist eine unidirektionale: die Temperaturverteilung wirkt über die thermischen Dehnungen auf die Strukturmechanik. Die umgekehrte Kopplung ist nicht so häufig zu finden: falls durch sich öffnenden oder schließenden mechanischen Kontakt eine Wärmeleitung über diesen Kontakt hinweg geändert wird oder aber durch große Querschnittsveränderungen die Wärmeleitung beeinflusst wird, ist die thermisch-mechanische Kopplung bidirektional.

Häufig findet man auch die Kopplung zwischen Stromleitung und Temperaturfeld. Wenn an einer Stelle Strom durch einen metallischen Leiter fließt, dann wird in diesem Wärme generiert, die so genannte Joule’sche Wärme. Als Konsequenz erhöht sich die Temperatur des Leiters (und dessen Umgebung). Für metallische Leiter gibt es meist eine sehr starke Abhängigkeit des spezifischen Widerstandes von der Temperatur. Bei einer Temperaturerhöhung um 250 K verdoppelt sich in etwa der spezifische Widerstand. Damit haben wir also eine Rückwirkung der Temperaturverteilung auf die Verteilung der elektrischen Stromdichte. Die elektrisch-thermische Kopplung ist der Klassiker unter den bidirektionalen Kopplungen.

Bisher haben wir Kopplungen betrachtet, bei denen im Prinzip die eine Domäne (beispielsweise die elektrische Leitung) untersucht werden kann, dann die andere Domäne (die sich aus der Wärmegeneration ergebende Temperaturverteilung), dann wiederum die erste (elektrische Leitung, diesmal mit örtlich variierenden spezifischen Widerständen aus der thermischen Analyse) und so weiter. Wir nennen das sequenzielle Analyse. Diese wird manchmal auch ‚schwache Kopplung‘ genannt und kann häufig dann durchgeführt werden, wenn die Kopplung nicht allzu stark ist.

Nun gibt es aber Kopplungen, bei denen die Domänen gar nicht einzeln zu untersuchen sind. Als Beispiel können wir den piezoelektrischen Effekt nehmen, den wir alle etwa von Feueranzündern (ein Piezokristall wird verformt, dadurch bildet sich eine hohe elektrische Spannung, die einen Funken zündet) oder piezoelektrischer Kraftstoffeinspritzung (an ein Piezoelement wird eine hohe Spannung angelegt, die dadurch entstehende mechanische Deformation steuert die Einspritzung) kennen. Die mechanische Spannung ist beim piezoelektrischen Effekt nicht nur Resultat der mechanischen Dehnung, sondern zusätzlich auch der elektrischen Feldstärke. Und umgekehrt ist die dielektrische Verschiebung (oder die Oberflächenladungsdichte an den Elektroden des Piezoelements) nicht nur von der elektrischen Feldstärke abhängig, sondern auch von der mechanischen Dehnung. Wir müssen bei der Analyse also beide Felder (mechanisches Verschiebungsfeld und elektrisches Feld) gleichzeitig betrachten. Einen solchen Ansatz nennen wir parallele Analyse (oder gelegentlich ‚starke Kopplung‘) und die zugehörige Kopplung Matrixkopplung.

Parallele Analysen erfordern Multiphysik-Elemente

Wenn wir nun zu den numerischen Aspekten der Kopplung im Rahmen der Finite-Elemente-Methode kommen, dann ist es offensichtlich so, dass wir für die sequenzielle Kopplung nacheinander Analysen durchführen, die jeweils die geeigneten Freiheitsgrade enthalten, für die parallele Analyse jedoch Finite Elemente benötigen, die alle beteiligten Freiheitsgrade gleichzeitig beinhalten. Solche so genannten ‚Multiphysik-Elemente‘ gestatten dann zum Beispiel innerhalb des Programmes Mechanical von Ansys die Auswahl der Freiheitsgrade, um die beabsichtige Kopplung aus dem Spektrum zu realisieren:

Structural-Thermal
Piezoresistive

Electroelastic

Piezoelectric

Thermal-Electric

Structural-Thermoelectric

Thermal-Piezoelectric

Diese Multiphysik-Elemente haben ganz nebenbei noch eine schöne Eigenschaft: Bei Einschluss der mechanischen Deformation werden auch die anderen, nichtmechanischen Domänen im deformierten Netz berechnet. Zwei in der Praxis wesentliche Kopplungen werden auf diese Weise jedoch nicht erfasst: die Fluid-Struktur-Kopplung und die elektromechanische Kopplung. Die Besonderheit bei diesen beiden ist zudem, dass in der praktischen Anwendung nicht etwa nur kleine Deformationen untersucht werden (wie meist bei der Wärmedehnung oder der piezoelektrischen Analyse), sondern häufig auch große Deformationen unter Einfluss des Strömungsdruckes oder der elektromagnetischen Kraft. Das besonders Unangenehme ist, dass damit die großen Netzdeformationen eine sequenzielle Analyse erzwingen.

Übertragung auf die mechanische Domäne fordert heraus

Die (häufig transiente, also zeitabhängige) Analyse läuft also folgendermaßen ab: Analyse der Fluid- oder Magnet-Domäne, Übertragung der Kräfte oder Kraftdichten an die mechanische Domäne, Analyse der mechanischen Domäne zur Berechnung der Deformation und wiederum Übertragung der Deformation an die Fluid- oder Magnetdomäne. Und dieser Zyklus wird dann wiederholt bis zur Konvergenz bei statischer Analyse oder bis die zu berechnende Zeit abgelaufen ist. Im Schritt der Übertragung der Deformation auf die mechanische Domäne liegt jedoch eine Herausforderung. Folgende Möglichkeiten existieren dafür:

Verschiebung nur der Knoten an der Oberfläche der mechanischen Struktur im Fall kleiner Verschiebung (klein gegen eine Elementdicke).

Interpolation oder Morphing bis in die Tiefe der Fluid- oder Magnet-Domäne hinein. Dies betrifft vor allem den Luftspalt in magnetischen Aktoren sowie die Bewegung elastischer Körper in einer Fluid-Domäne, wie bei Ventilen oder beim Flattern. Für diese Interpolation gibt es kein allgemeines Vorgehen, je nach Bewegungsform besteht die Auswahl in unterschiedlichen Interpolationsmöglichkeiten. Besonders unangenehm ist der – leider häufige – Fall, dass sich bei der Deformation ein Spalt schließt, der Zusammenhang der Elemente untereinander sich also ändert.

Die dritte Variante, die auch den Fall des schließenden Spaltes abbildet, ist die Möglichkeit, die ‚weiche‘ Domäne neu zu vernetzen. Problematisch hierbei ist, dass immer wieder ein Neustart mit entsprechenden Anfangsbedingungen durchzuführen ist und dass sich für das Postprocessing der weichen Domäne das Netz laufend ändert.

Noch eine Besonderheit zeigt die Kopplung Mechanik mit Fluidik oder Magnetik. Die Anforderungen an das mechanische Netz sind gelegentlich völlig anders, als die Anforderungen an das fluidische oder magnetische Netz. In der Fluidik sollen Grenzschichten und Bereiche potenzieller Wirbelablösung aufgelöst werden, in der Magnetik steht die Aufgabe, Bereiche starker Feldkrümmung (Ecken und Kanten von Polflächen) genau abzubilden, im Vordergrund. Für die mechanische Berechnung ist meist die Abbildung von Gradienten der mechanischen Dehnung mit genügend vielen Elementen maßgebend.

Entweder man entscheidet sich nun, beide Kriterien einzuhalten um den Preis von zu vielen Elementen in beiden Domänen oder man wählt angepasste Netze für die jeweilige Domäne und muss dann Lasten und Verformungen zwischen den Domänen interpolieren. Auch hier gilt es aufzupassen, denn für die Interpolation von verallgemeinerten Kräften – etwa mechanische Kraft oder Wärmegeneration – ist eine konservative (erhaltende) Interpolation zu verwenden, die sicherstellt, dass die Summe der übertragenen Kraft in beiden Netzen gleich ist.

Summe der übertragenen Kraft beachten

Eine ganz besondere Kopplung, nämlich die elektro-magnetische Kopplung, wird häufig durch spezielle Programme realisiert. Der Grund ist, dass einerseits diese Kopplung im oben erwähnten Sinn eine starke Kopplung ist und andererseits der Zusammenhang zwischen Feld und Potenzial hier nicht wie bei den meisten anderen Problemen der klassischen Physik durch den Gradienten des Potenzials dargestellt wird. Stattdessen kommt hier die ‚rot‘-Operation (in der englischen Literatur curl-operation) zum Einsatz. Im Jargon der Numeriker heißen die zugehörigen Differenzialgleichungen curl-curl-Gleichungen statt der sonst üblichen Laplace-Gleichung. Für unsere Finiten Elemente bedeutet dies, dass das Vektorpotenzial (magnetisch und/oder elektrisch) nicht mehr als Freiheitsgrad auf den Eckknoten zu finden ist, sondern dass stattdessen so genannte Edge-Elemente zum Einsatz kommen, die die Komponenten des Vektorpotenzials auf den Kanten tragen.

Der Blick, den wir bisher auf das offenbar weite Feld der Multiphysics-Simulation geworfen haben, ist eigentlich etwas eng. Stets sind wir davon ausgegangen, dass jeweils die Domänen als komplette Strukturen (meist 3D) modelliert und vernetzt werden. Gelegentlich (und wenn man sich anstrengt, sogar recht häufig) bedarf es zur Simulation des Systemverhaltens nicht aller Informationen aus der Potenzial- und Feldverteilung der entsprechenden Domäne, sondern ein reduzierter Satz von Freiheitsgraden reicht aus, um das Verhalten nach außen hin ausreichend genau zu beschreiben.

Wir kennen dies gut aus der Verwendung von Eigenschwingungsmoden für die Darstellung der Strukturdynamik (Modale Superposition). Ganz allgemein nennt man solche Modelle ROM (Reduced Order Model). Die Analyse mittels ROM eröffnet einen neuen Horizont: Die Systemsimulation, bei Bedarf auch unter Einschluss der Hardware und Software, die das System steuert. Erst damit kommen wir der virtuellen Maschine nahe, aber das ist dann schon wieder ein anderes Kapitel …

Cadfem GmbH, Grafing bei München Tel. 08092/7005-0, http://www.cadfem.de

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