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Grundgleichungen der Finite Elemente

Prof. Dr. Ing. Wellnitz

Bild 3: Aufteilung eines Flächenproblems in Dreieck- und Viereckselemente mit Ansatzfunktion im Teilgebiet.

Lehrstuhl für Leichtbau, Fakultät für Maschinebau

Hochschule für angewandte Wissenschaften FH Ingolstadt

Das Näherungsverfahren nach Boris Grigorievich Galerkin ist eines der effektivsten und meist genutzten approximativen Lösungsansätze für Differentialgleichungen. Die Behandlung partieller, transienter Gleichungssysteme in der Strukturmechanik gelingt durch die von Galerkin eingeführten Gewichts-/Näherungsfunktionen unter der Betrachtung beziehungsweise Minimierung des Ansatzfehlers.

Dabei hat Galerkin in seiner bereits im Jahr 1915 veröffentlichten Methodik einen wesentlichen Grundstein für das viel später entwickelte und entstehende FE-Verfahren (Finite Elemente) geliefert. Die wesentliche Idee dabei ist die Schätzung einer den Randbedingungen genügenden Ansatzfunktion in einem ausgewiesenen Teilgebiet (Kollokationsmethode).
Die folgerichtige Anwendung dieses Verfahren führt interessanterweise auf das Grundgleichungssystem der FE-Methode:



Das Verfahren eignet sich besonders zur Anwendung bei nicht konservativen Systemen, zum Beispiel Thermalanalyse, Sickerproblem und Erdproblem, und führt zu den gleichen FE-Grundgleichungen, die sich beispielsweise auch über das Prinzip der virtuellen Verrückungen ergeben. Das Verfahren von Galerkin ist der wesentliche Grundstein für die Programmierung in modernen FE-Programmen. Die strukturmechanischen Grundgleichungen in den statischen und dynamischen Problemen von Flächentragwerken kann im Wesentlichen als mehrdimensionales Operatorsystem betrachtet werden:

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Diese Gleichungen sind partielle (meist lineare gekoppelte) Differentialgleichungen mit inhomogenem und transienten Anteil und bei Rotationskörpern auch mit nichtkonstanten Koeffizienten (zum Beispiel Bessel’sche Differentialgleichungen):



Die Beobachtung seit der frühen Ableitung der Balkentheorie durch »Jakob und Johann Bernoulli« ist, dass die Ableitung einer allgemeinen oder partikulären oder sogar singulären Lösung oft nicht möglich ist. Die meist in den Verschiebungsgrößen beschriebenen Zustandsgleichungen eines mechanischen Problems können für einige Anwendungen und Lastfälle damit unlösbar sein. Es ist damit ein praktisches Problem, wie zum Beispiel für Flächentragwerke exakte Lösungen ableitbar sind, wenn doch die Differentialgleichungen sich als nicht integrierbar erweisen. Der Galerkin’sche Methode (und parallelevolutionär auch Überlegungen von Ritz) liegt die Idee zu Grunde, eine Lösungsfunktion (hier Ansatzfunktion, Polynomfunktion) zu finden, die die Operatorgleichung:




eigentlich identisch erfüllt. Ist die Ansatzfunktion so gewählt, dass sie den geometrischen und physikalischen Randbedingungen genügt, (im transienten Fall auch Anfangsbedingungen), dann ist sie eine partikuläre Lösung der Gleichung, oder?

Diese Aussage ist phänomenologisch korrekt, wenn die Ansatzfunktion genügend freie Konstanten entsprechend des Differentialgleichungsgrades enthält und wenn man die Aussage:



macht, das heißt die Operatorgleichung wird nicht identisch zu null erfüllt sondern es ergibt sich ein Rest (Residuum). Galerkin hat diese Idee wie folgt formuliert:




was bedeutet, dass die Ansatzfunktion eingesetzt in den Operator integriert über ein definiertes Teilgebiet einen Rest Epsilon ergibt, der im Idealfall Null ist oder gemäß eines Variationsproblems minimiert wird.
Das heißt, ich löse die Gleichung nicht für das gesamte Gebiet mit einer Ansatzfunktion, sondern teile Flächengebiete zu, für die jeweils Residuums Formulierungen nach Galerkin gilt, so genannte Kollokation im Teilgebiet.
Bevor man nun alle dadurch kreierten Elemente zusammenfügt, wird die Integralgleichung:



mit derselben Ansatzfunktion multipliziert, integriert über das Teilgebiet, was einer mathematischen Glättung entspricht. Dieses Verfahren ist die so genannte Methode des gewichteten Restes, eingeführt als Näherungsverfahren für Differentialgleichungssysteme durch Galerkin im Jahr 1915. Die Gewichtsmethode eignet sich auch zur semi-analytischen Lösung von Differentialgleichungen jeglicher Art.
Grundidee dabei ist: ich kenne die Lösungsfunktion nicht, also definiere ich mir eine den Randbedingungen genügende Funktion (meist Langrange-Polynom), die dann abschnittsweise (Elemente!) die Gleichung unter Berücksichtigung der Minimierung des gewichteten Restes erfüllt.

Die Grundgleichung der FE-Methode, hier lineare Statik:



kann auch folgerichtig durch der Anwendung der Galerkin’schen Näherungsmethode gewonnen werden. Dabei ist es sinnvoll die Ansatzfunktion:


in eine Formfunktion, zum Beispiel:



mit den Knotenpunktsfreiheitsgraden (DoF) als Unbekannte umzuformulieren.
In den meisten Fällen führt isoparametrische Vorgehensweise zu noch besseren Ergebnissen, vor allem was Integration über die Elementflächen betrifft. Die Galerkin’sche Gewichtsmethodik:


lässt sich identisch in die Hauptgleichung der Finite Elemente überführen, die jeweiligen Knotenpunktsfreiheitsgrade tauchen als Spaltenmatrix im Rang des definierten Problems (Degree of Freedoms) auf. Dieses Verfahren eignet sich im Besonderen für die Beschreibung von Thermalproblemen, Fourier’sche Wärmeleitungsgleichung, nicht-konservativen Problemen – beispielsweise »Absack-/Sickerproblem« im Grundbau (Bauingenieurwesen) – und für alle mathematischen Probleme, bei denen der Differentialoperator (also die beschreibenden Grundgleichungen) bekannt ist.
Über die Galerkin’sche Methode gelingt es immer ein System der FE-Grundgleichungen abzuleiten. Bei konservativen Problemen, bei denen Wirkprinzipien der Mechanik verwendet werden können – wie das Prinzip der virtuellen Verrückungen in der Statik – ergeben sich identische Gleichungen als wären sie mit Galerkin berechnet worden. In modernen FE-Programmsystemen wie Ansys und Nastran finden sich eine Reihe von Elementformulierungen, die auf der gewichteten Restformulierung beruhen. Fazit: Die Galerkin’sche Methode – die Alma Mater der Finiten Elemente! -fr-

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